Runge Kutta Orde Keempat

PENURUNAN SEDERHANA DAN ANALISIS METODE
RUNGE KUTTA ORDE KEEMPAT

ABSTRAK
Penurunan metode Runge-Kutta orde keempat melibatkan perhitungan yang melelahkan dari beberapa yang tidak` diketahui dan rincian penurunan langkah demi langkah dan analisis hampir tidak dapat ditemukan dibanyak literatur.. Karena peran penting yang dimainkan oleh metode ini dalam bidang perhitungan dan ilmu terapan / rekayasa, kita menyederhanakan dan mengurangi kompleksitas derivasi dan analisis dengan menyelidiki beberapa usaha / karya yang mungkin terkenal dan mengusulkan penurunan dari metode ini langkah-demi langkah. Kita juga menunjukkan wilayah stabilitas secara grafis.

Kata kunci: Metode Runge-Kutta orde keempat, Penurunan, Analisis stabilitas

1.      PENDAHULUAN

Rumus Runge-Kutta adalah yang tertua dan skema yang paling baik dipahami dalam analisis numerik. Namun, meskipun evolusi tubuh yang luas dan komprehensif pengetahuan, terus menjadi sumber penelitian aktif [7]. Metode Runge-Kutta memberikan cara yang populer untuk memecahkan masalah nilai awal untuk suatu sistem persamaan diferensial biasa [11]:

dengan h panjang langkah yang diberikan melalui interval (a, b), berturut-turut menghasilkan perkiraan Y_n untuk Y_n+1. Kami menangani secara eksklusif langkah demi langkah derivasi / penurunan dan stabilitas Analisis Metode Runge-Kutta orde empat. Untuk seluruh
cakupan derivasi / penurunan dan analisis pembaca disebut (1, 2, 3, 4,5).

Jurnal ini memiliki struktur sebagai berikut: Bagian 2 menyajikan formulasi matematika dan derivasi / penurunan, Bagian 3 menyajikan analisis dan bagian 4 menyajikan kesimpulan.

2. RUMUS MATEMATIKA DAN PENURUNAN

Kita mulai dengan mendefinisikan fungsi seperti dalam [1,2,3,4,5 dan 6]

Dimana,

 

Fungsi diperluas menggunakan ekspansi deret Taylor untuk fungsi dari dua variabel. Untuk mendapatkan yang tidak diketahui, kita menggunakan koefisien orde keempat dari orde 4

Mengatur koefisien ke enol, kita punya

Kita menggunakan asumsi penyederhanaan Butcher:

Yang mempengaruhi pernyataan untuk  

 

Berturut-turut

Sekarang kita menggunakan persamaan (9) untuk j = 2,3 dan 4 kita punya:

Sekarang ketika j = 4 dalam (iii), c₄ = 1 dan  b₄ ¹ 0 untuk metode tahap empat.

Kita mensubtitusi c₄ = 1 pada persamaan 2, 3 dan 5 dan memecahkan b₂, b₃ dan b₄ secara bersamaan. Oleh karena itu persamaan 2, 3 dan 5 menjadi

Menggunakan aturan crammer, kita pertama menemukan determinan dari koefisien matriks

Untuk memecahkan b₂

Untuk memecahkan b₃

Untuk memecahkan b₄

Sekarang untuk memecahkan a₄₃, kita menggunakan persamaan (ii) yaitu ketika j = 3.
Oleh karena itu, kita harus

Untuk mengatasi untuk a₃₂  dan  a₄₂, kita menggunakan persamaan (i) (saat j = 2) dan
(8) yakni

Mensubtitusi nilai ini menjadi persamaan (i),

Solusi ini mengasumsikan bahwa

Kita memilih dua parameter bebas  =

Mensubtitusi nilai-nilai ini menjadi b₄, b₃, b₂  dan kita punya:

Menggunakan persamaan (1)

Juga 

Menggunakan persamaan (ii) (saat j = 3),

Dari persamaan (8) di atas,

Juga

Menggunakan persamaan (2) kita dapat memperoleh c₄ sebagai

juga

Oleh karena itu,

Dari  

Akhirnya, kita tahu bahwa

Dengan demikian kita telah menentukan semua yang tidak diketahui dalam metode ini dan metode ini dapat ditulis dalam tabel Butcher [3] sebagai

Yang memiliki bentuk

3. METODE ANALISIS

Polinomial stabilitas diberikan oleh   dan diperlukan bahwa R (h) < 1 untuk stabilitas mutlak lihat [6]. Sekarang untuk metode Runge Kutta orde keempat,
Tabel Butchernya adalah

Untuk stabilitas mutlak

Mengambil RHS

Dengan menggunakan matematika kita mendapatkan akar sebagai NSolve [h + h * h / 2 + h * ​​h * h / 6 + h * ​​h * h * h/24 == 0, h] {{h ® -2,78529}, {h ® ® -0.607353-2.8719}, {h ® - 0.607353 2,8719 ®}, {h ® 0.}}.

Kami menganggap 3 kasus karena dapat ditemukan di [1]

kasus 1

Ketika l nyata dan l < 0, Akarnya adalah -2,785 dan 0. Karena itu, interval stabilitasnya adalah hÎ( -2.785,0).

Kasus 2

Ketika h adalah murni dan imajiner,

Kita mengatur  = iy dalam polinomial stabilitas untuk mendapatkan

menetapkan  t = yh  dan mengambil besarnya

Dengan menyederhanakan, kita mendapatkan

NSolve

Dengan menggunakan Matematika untuk menemukan akar-akarnya kita memiliki

                  

Persamaan yang lebih baik adalah |t|<2.82843 atau |t|<

Oleh karena itu interval stabilitas adalah   .

Kasus 3

Ketika l adalah kompleks dengan Re (l) > 0, kita mengatur .

pada

dan plot batas wilayah dengan memplot bagian nyata dan
imajiner. Wilayah stabilitas diplot menggunakan Maple sebagai berikut

4. KESIMPULAN

Dalam jurnal ini, kita telah menyederhanakan derivasi yang ada dan analisis Metode Runge-Kutta orde empat untuk referensi mudah bagi mahasiswa dan memplot daerah stabilitas. Kita juga mengurangi kompleksitas dari metode ini dengan mengusulkan langkah demi langkah pendekatan derivasi untuk pemahaman yang lebih baik kepada mahasiswa.

5. REFERENSI

[1] M.K. Jain, S.R.K. Iyengar, R.K. Jain, (2007), Numerical Methods for Scientific and Engineering Computing.

[2] J. D. Lambert, (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, the initial value Problem, John Wiley & Sons Ltd.

[3] J.C. Butcher, (2003), Numerical Methods for Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons Ltd.

[4] John R. Dorman, (1996), Numerical Methods for Differential Equations, a Computational Approach, CRC Press,Inc.

[5] J. D. Lambert, (1973), Computational Methods in Ordinary Differential Equations, John Wiley & Sons Ltd

[6] Fudzia Ismail, (2010), Lecture Notes on Numerical Methods (unpublished), University Putra Malaysia

[7] G. Byrne and Hindmarsh, (1990), RK Methods prove popular at IMA Conference on Numerical ODE’s,SIAM News,23/2 pp.14-15.

[8] Lawrence F. Shampine, (1985),Interpolation for Runge- Kutta Methods.SIAM Journal of numerical analysis,22/5,pp.1014-1027.